京都医塾数学科です。

このページでは「東京医科大学医学部医学科の数学」についての過去問分析コメントを紹介します。
・“医学部受験に興味がある”という方
・“東京医科大学医学部”の受験を考えている方
・“東京医科大学医学部の数学がどのような問題か知りたい”という方
におススメの記事となりますので、興味のある方はご一読ください。

概要

【形式・制限時間・配点】2022年度（最新の問題より）　
形式： 空所補充式
制限時間：60分
配点：100点(総得点は400点）

出題の傾向と特徴（6年分）

毎年恒例・頻出の出題単元

　直近の過去問6回で微積分は毎回出題されていて、いろいろな関数の微積分計算に習熟しておく必要があります。高次方程式、ベクトル、極限、2次曲線なども頻出で、特に2次曲線の接線に関する問題には注意が必要です。また、複数単元にまたがった融合問題も見られるため、そのほかの単元の学習もおろそかには出来ません。
　なお、2020年度以降、記述式問題がなくなり、全問マークシート方式となっています。

制限時間に対する問題量

　易～標準レベルの問題が多いですが、繁雑な計算を要する問題も含まれ、60分という制限時間に対して分量は多めです。定義や定理・公式を正確に覚え、適切に利用する練習が必要です。

2022年度（最新の過去問）の分析

　ここまでは近年の傾向を見てきましたが、ここではさらに踏み込んで、最新の入試問題を具体的に分析したいと思います。
※以下、過去問をお手元にご覧になるのが理想的ですが、過去問がなくても問題なくお読み頂けます。

【第1問　小問集合】（易～やや難）

　第1問は小問集合です。
（１）楕円の法線の方程式を求める問題。まずは接線の方程式を公式により求め、この接線と直交して接点を通る直線として求めます。一般に、直線\(Ax+By+C=0\)に直交し点\((p,q)\)を通る直線の方程式が、\(B(x-p)-A(y-q)=0\)であることを用いると速いでしょう。これは易しい。
（２）正十二面体に関する問題。正五角形の辺と対角線の長さの比（黄金比）は、求め方も含めて記憶しておくほうがよいでしょう。後半の穴埋めは、要領よくやらないと手間取りそうです。制限時間を考えると、やや難でしょうか。
（３）定積分の問題。偶関数の性質を用いて積分区間を半分にした後、被積分関数が\((\tan{x}の式)×\displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}\)の形なので、\(t=\tan{x}\)などとおいて置換積分します。標準的です。
（４）これも定積分の問題。今回は被積分関数が奇関数でも偶関数でもありませんが、まずは、絶対値の中身\(x\)の符号によって積分区間を２つに分けます。
　\((左辺)\)\(=\displaystyle\int_{-\frac{π}{4}}^0\frac{\sqrt{4-5\tan{x}}}{1-\sin{x}}dx\)\(+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{4+5\tan{x}}}{1-\sin{x}}dx\)
　右辺の第\(1\)項において\(x=-y\)とでも置換すれば、第\(1\)項、第\(2\)項の被積分関数の分子の根号の中身の形がそろった上に、ともに積分区間が\(0\)と\(\displaystyle\frac{π}{4}\)の間となり、1つの定積分にまとめられます。以下、通分するとまたしても被積分関数が\((\tan{x}の式)×\displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}\)の形になるので、\(t=\tan{x}\)などとおいて置換積分すれば解決します。やや難でしょう。

≪2022年度の目標値≫
数学を得点源にしたい受験生…完答
他教科を得点源にしたい受験生…（１）（３）完答、（２）半答

【第2問　速度・加速度・道のり】（標準）

　動点\(\mathrm{P}\)の座標\((x,y)\)が時刻\(t\)の関数として与えられています。物理選択者はやや有利でしょうか。
（１）「速さ」とは「速度（ベクトル）の大きさ」のことであり、点\(\mathrm{P}\)の速度（ベクトル）は\(\vec{v}=(\displaystyle\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})\)と、時刻\(t\)についての微分で表現されます。定義が頭に入っていればあとは慎重に計算するだけです。
（２）点\(\mathrm{P}\)の加速度ベクトルは\(\vec{a}=(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2})\)と表現されます。これも定義を記憶できていれば問題ないでしょう。
（３）時刻\(t_1,t_2\)(\(t_1<t_2\))における点\(\mathrm{P}\)の\(x\)座標をそれぞれ順に\(x_1,x_2\)とすると、この間の点\(\mathrm{P}\)の道のりは、\(L=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx\) と表現されます。微小時間\(dt\)における微小な道のり\(\displaystyle\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)を足し合わせていくと考えると覚えやすいでしょう。この問題の場合、求める道のりは\(L=\displaystyle\int_0^1|\vec{v}|dt=\int_0^1t^3\sqrt{1+3t^2}dt\)を計算すると求まります。あとは、\(u=\sqrt{1+3t^2}\)などとおいて置換積分です。
　内容的には標準的なので、時間との闘いになるでしょう。

≪2022年度の目標値≫
数学を得点源にしたい受験生…完答
他教科を得点源にしたい受験生…（２）まで

【第3問　確率】（やや易）

　くじ引きに関する問題です。操作(ii)は無作為抽出ではない（はずれくじを選択的に取り除く）ことに注意しましょう。
　\(P(A)\)を求めるのは容易いでしょう。教科書の例題レベルと言っていい基本問題です。
　条件付き確率\(P_B(E)\)は、事象\(B\)が起こったとき、事象\(E\)が起こる確率です。言うまでもないことですが、事象\(B\)が起こりかつ事象\(E\)が起こる確率\(P(B\cap{E})\)(積事象の確率)と混同しないようにしましょう。ここで求めるべきは、「（操作(ii)までで当たりくじが\(1\)本、はずれくじが\(2\)本取り除かれた結果）当たりくじが\(2\)本、はずれくじが\(4\)本残った中から操作(iii)で当たりくじを引く確率」です。これも落ち着いて考えれば難しくないでしょう。
　積事象の確率\(P(C\cap{E})\)は、条件付き確率を用いて、\(P(C\cap{E})=P(C)P_C(E)\)と表せます。\(P_C(E)\)はさきほどの\(P_B(E)\)と同様に考えて求めます。
　最後の\(P(E)\)については、操作(i)で起こる事象\(A,B,C\)が互いに背反で（同時に起こりえない）、これですべての場合を尽くしていますから、
　\(P(E)=P(A\cap{E})+P(B\cap{E})+P(C\cap{E})=P(A)P_A(E)+P(B)P_B(E)+P(C)P_C(E)\)
で求まります。
　是非とも完答を目指したい問題です。
　
≪2022年度の目標値≫
数学を得点源にしたい受験生…完答
他教科を得点源にしたい受験生…完答

【第4問　高次方程式】（やや易）

　\(4\)次方程式の解と係数の関係は記憶していないかもしれませんが、\(2\)次方程式や\(3\)次方程式の解と係数の関係の導出方法を参考にすれば、その場で導くことも十分に可能です。\(4\)つの解を\(α,β,γ,δ\)とすると、\(4\)次方程式の左辺は\((x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)\)と因数分解できるはずです。これを展開したものと、もとの左辺を係数比較します。\(αβ=\sqrt{2}\)と与えられていますから、\(α,β\)の基本対称式\(α+β,αβ\)と\(γ,δ\)の基本対称式\(γ+δ,γδ\)を用いた形に変形することを考えます。筋のよい計算を心がけましょう。

≪2022年度の目標値≫
数学を得点源にしたい受験生…完答
他教科を得点源にしたい受験生…完答

【総評】

　全体としてやや易～標準レベルの問題が多いですが、前半にやや解答しづらい問題が集まっています。少し考えてすぐに道筋が見えなかった場合は、いったん保留して次の問題に進んだ方がよいでしょう。制限時間に対して問題分量がやや多めで、全問マークシート方式のため、スピーディで正確な計算処理が求められます。

まとめ

　2020年度以降、全問マークシート方式となり、答えの数値を合わせることの重要性が高まりました。また、どの分野からもバランスよく出題があるため、特定の分野にヤマを張ることは出来ません。検定教科書や市販の網羅型参考書を使って、定義や定理・公式、典型問題の解法を身につけ、標準的な入試問題集で実戦的なトレーニングを積みましょう。

というわけで、今回は東京慈恵会医科大学の数学についてまとめてみました。皆さんの参考になれば幸いです！

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