高校数学ではベクトルの「内積」という計算を習いますが、「『内積』と言うからには『外積』という計算もあるのではないか」と疑問に思ったことはないでしょうか。実は、あります。

　2つの空間ベクトル
　　\( \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),　\vec{b}=(b_1,b_2,b_3) \)
に対して、
　　\( \vec{h}=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2},{a_3}{b_1}-{a_1}{b_3},{a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}) \)
とします。また、
　\(\vec{a}=\vec{\mathrm{OA}},　\vec{b}=\vec{\mathrm{OB}},　\vec{a}+\vec{b}=\vec{\mathrm{OD}}\)
となる点\(\mathrm{O,A,B,D}\)を取ります。
　\(\vec{a}・\vec{h}= \vec{b}・\vec{h}=0\)となっていることから、この\(\vec{h}\)は\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)が張る平行四辺形\(\mathrm{OADB}\)に垂直であることがわかります。さらに言えば、\(\vec{h}\)の向きは\(\mathrm{A}\)から\(\mathrm{B}\)に右ねじを回すときに進む向きであり、\(\vec{h}\)の大きさ\(|\vec{h}|\)は、この平行四辺形\(\mathrm{OADB}\)の面積と等しいことが知られています。すなわち、平行四辺形\(\mathrm{OADB}\)の面積を\(S\)とすると、
　\(S=\sqrt{({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2})^2+({a_3}{b_1}-{a_1}{b_3})^2+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})^2}\)
となります。
　この\(\vec{h}\)を\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の外積といい、
　\(\vec{h}=\vec{a}×\vec{b}\)
と表します。

　ここで、
内積\(\vec{a}・\vec{b}={a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+{a_3}{b_3}\)
と、
外積\( \vec{a}×\vec{b}=({a_2}{b_3}-{a_3}{b_2},{a_3}{b_1}-{a_1}{b_3},{a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}) \)
は、まったくの別物であり、しっかりと区別しなければいけません。内積はスカラー（ベクトルではない単なる数）、外積はベクトルです。また、内積は2次元ベクトルでも3次元ベクトルでも定義されますが、外積は3次元ベクトルに対してのみ定義されます。ベクトルの内積の「・」を省略してはいけないのは、外積と区別するためでもあるのでしょう。

　ベクトルの外積は高校数学では定義されていませんから、記述式答案で外積を用いることには慎重になるべきですが、少なくとも検算には使えますし、答えの数値のみ書く形式の試験ならば、大幅な時間短縮も望めます。

　たとえば、成分を与えられた２つの空間ベクトル\( \vec{a}\)と\( \vec{b}\)の両方に直交するベクトルとしては外積\( \vec{a}×\vec{b}\)（の0でない定数倍）が該当します。これなら、いちいち連立方程式を解かなくてもよいので速いですね。

　あるいは、各頂点の座標（あるいは位置ベクトル）を与えられた三角形や平行四辺形の面積を求めることもできます。三角形なら先ほどの平行四辺形の面積\(S\)の\(\frac{1}{2}\)倍です。
　3次元空間ではなく平面上の三角形であったとしても、
2次元ベクトル\( \vec{a}=(a_1,a_2),　\vec{b}=(b_1,b_2) \)
を、
3次元ベクトル\( \vec{a}=(a_1,a_2,0),　\vec{b}=(b_1,b_2,0) \)
と同一視することにすれば、3点\(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{A}(a_1,a_2),\mathrm{B}(b_1,b_2)\)を頂点とする三角形\(\mathrm{OAB}\)の面積\(T\)は、
　\(T=\frac{1}{2}\sqrt{({a_2}・0-0・{b_2})^2+(0・{b_1}-{a_1}・0)^2+({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})^2}\)
　　\(=\frac{1}{2}\sqrt{({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})^2}\)
　　\(=\frac{1}{2}|{a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}|\)
と求まることがわかります。これは、公式として覚えている人も多いでしょう。

　さらには、内積の計算と組み合わせることによって、各頂点の座標（あるいは位置ベクトル）を与えられた四面体や平行六面体の体積も求めることができます。四面体\(\mathrm{OABC}\)について、
　\( \vec{\mathrm{OA}}=\vec{a},　 \vec{\mathrm{OB}}=\vec{b},　 \vec{\mathrm{OC}}=\vec{c} \)
とし、さらに、
　\(\vec{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b},　 \vec{\mathrm{OE}}=\vec{b}+\vec{c},　 \vec{\mathrm{OF}}=\vec{c}+\vec{a} ,　\vec{\mathrm{OG}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} \)
を満たす点\(\mathrm{D,E,F,G}\)を取ると、六面体\(\mathrm{OADB-CFGE}\)は平行六面体となります。このとき、平行六面体\(\mathrm{OADB-CFGE}\)の体積を\(\mathrm{V}\)、四面体\(\mathrm{OABC}\)の体積を\(\mathrm{W}\)とすると、
　\(\mathrm{V}=|(\vec{a}×\vec{b})・\vec{c}|\)
　\(\mathrm{W}=\frac{1}{6}\mathrm{V}=\frac{1}{6}|(\vec{a}×\vec{b})・\vec{c}|\)
となります。時間の余裕のある人は、その理由を考えてみても面白いでしょう。