京都医塾数学科です。

このページでは「聖マリアンナ医科大学医学部の数学」についての過去問分析コメントを紹介します。

・“医学部受験に興味がある”という方
・“聖マリアンナ医科大学医学部”の受験を考えている方
・“聖マリアンナ医科大学医学部の数学がどのような問題か知りたい”という方

におススメの記事となりますので、興味のある方はご一読ください。

概要

【形式・制限時間・配点】2022年度（最新の問題より）　
形式： 穴埋め+論述
制限時間：90分
配点： 100点（筆記試験の総得点は400点）

出題の傾向と特徴

形式に加え、2018年度以降の5年分についての傾向をまとめます。

【毎年恒例の出題単元】

　数列、微積分は毎年出題されています。数列は小問集合に含まれているときは比較的解きやすい問題ですが、それ以外では他の単元の内容と絡めることが多く、典型的な解法を一通り押さえたうえで、アウトプットの訓練も必要になります。
　微積分はグラフの概形が描きにくいものや、場合分けが必要なものが多く、こちらもアウトプットの訓練が必要です。
　また、整数の性質も毎年出題されています。普段から訓練しておきましょう。

【頻出の出題単元】

　図形問題は年度によって、複素数平面であったり（2020年）、二次曲線や図形と方程式であったり（2021年および2019年）、ベクトルであったり（2022年および2018年）と、単元を変えながら毎年何らかの形で出題されます。
　また、データの分析も頻繁に出題されています。他の学校の出題範囲との兼ね合いで後回しにされることもある単元ですが、こちらも訓練しておきましょう。　　　　　

【制限時間に対する問題量】

　大問4題に対して90分ですので、私立医学部の問題としては標準的と言えます。しかしながら、微分・積分の途中計算ではそれなりに時間を取らることが予想されるため、基本的な計算については素早く正確にできるように訓練をしておきましょう。

2022年度（最新の過去問）の分析

　ここまでは近年の傾向を見てきましたが、ここではさらに踏み込んで、最新の入試問題を具体的に分析したいと思います。
※以下、過去問をお手元にご覧になるのが理想的ですが、過去問がなくても問題なくお読み頂けます。

【第1問　小問集合】（難易度：標準）

(1)　\(a\)も\(b\)も正の平方根になっているので、とりあえず\(a+b\)を2乗してみよう。と手を動かせれば、後は計算するだけです。問題文中にある\(|x-1|\)から\(\sqrt{(x-1)^2}\) \(=\)\(|x-1|\)をイメージできるかも大切です。

(2)　 ここ数年、頻繁に見かける条件付き確率の問題です。縦2マス×横2マスの表を書けば立式しやすいです。

(3)　整数部分の話ですので、まずは\(5\)\(≦\)\(\log_{10} ({10x^2})\)\(<\)\(6\)の形を作ってしまいましょう。後は対数の不等式\(10^5\)\(≦\)\(10x^2\)\(<\)\(10^6\)を計算していくだけですね。
　後半も同じように\(10^5\)\(≦\)\(5x^2\)\(<\)\(10^6\)の形にできれば後は計算していくだけです。

≪2022年度の目標値≫
　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…完答したいが、試験問題慣れしていないと(1)は手が動かないかも。

【第2問　空間ベクトル】（難易度：やや易）

(1)　テキストの例題にありそうな典型的な内積の問題です。\( \overrightarrow{AB} \)と\( \overrightarrow{OC} \)をそれぞれ成分で表し、内積の計算をしましょう。

(2)　(1)同様に指示されたベクトルを成分表示し、計算していくだけです。

(3)　ベクトルで面積の話ですが、空間ベクトルですので、成分そのままで計算することはできません。（外積を使えばできますが、敢えてそちらを使う必要もないかと思います）△OBCであれば、\(| \overrightarrow{OB} \)|、\(| \overrightarrow{OC} \)|、そして\( \overrightarrow{OB} \)\(・\)\( \overrightarrow{OC} \)をそれぞれ求めて計算しましょう。
(4)　点P、点Qはそれぞれ直線AB、直線OC上にあるので、「三点同一直線上」の知識を使って、\( \overrightarrow{OP} \)\(=\)\( (1-s)\overrightarrow{OA} \)\(+\)\( s\overrightarrow{OB} \)、\( \overrightarrow{OQ} \)\(=\)\(k \overrightarrow{OC} \)と表して、それぞれ成分表示すれば\( \overrightarrow{PQ} \)も成分で表すことができます。
　元々あった定数\(a\)に加えて、自分でおいた\(s\)、\(k\)と文字がたくさん出てきますが、\( |\overrightarrow{PQ} \)|を計算するとどの文字も2次になるので、平方完成をしていけば最小値を求めることができます。

≪2022年度の目標値≫
　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…(3)までは解きたい

【第3問　逆関数・積分】（標準）

(1) 　典型的な逆関数を求める問題です。定義域 \(x≧0\)に注意しましょう。

(2)　共有点の座標を問われているので\(y=f(x)\) と\(y=f^{-1}(x)\)の連立方程式を解くことで求めることができます。逆関数の性質を利用して\(y=f(x)\) と\(y=x\) の連立方程式を解くことでも求められます。

(3)　逆関数の図形的特徴を利用すると少し楽に計算することが出来ます。(2)で求めた無理数の累乗計算が必要になるので、次数下げのテクニックを身につけていないと、計算量が膨れ上がることになります。

(4)　回転体なので、\(π \displaystyle \int_{α}^{β} {y^2}dx \)を計算するさいに根号がとれるおかげで、(3)を工夫せずに解くよりは計算が楽です。しかしながら、(3)以上に繁雑な計算が求められるので、工夫して処理してください。

≪2022年度の目標値≫
　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…(2)までは解きたい

【第4問　数列の極限】（やや難）

(1) 　\(S_4\)の値ですので、初項から第4項まで書き出しましょう。数学以外を得点源にしたい受験生の方も、ここはとっておきたいです。

(2)　穴埋め形式であれば\(m\)に0を代入して考えるだけでよいのですが、論述形式のときは途中式を書かなければいけないのが大変です。とはいえ、\(m\)に0を代入して大小の順番を予想することは有用ですので、(1)で\(S_4\)を求めた途中計算を利用して予想を立てましょう。
　\(8m+k\)の\(k\)が奇数の時は徐々に小さくなり、偶数の時は大きくなることに気づければ、後は\(8m+7\)と\(8m+8\)の大小関係を考えるだけです。\(S_{8m+8}=S_{8m+7}\)\(-\)\(\frac{1}{8m+8}\)ですから\(S_{8m+8}<S_{8m+7}\)となります。

(3)　数学的帰納法で証明します。すでに文字\(k\)は用いられているので、\(n=k\)で成り立つとき…と書いてはいけません。別の文字を使ってください。ゴールの形を作っておいて、そこから逆算しながら途中式の変形を考える必要があります。

(4)　(3)を利用することを考えれば、区分求積法に思い至ることができるでしょう。しかし、注意すべき点として、(3)で考えた式は\(S_{2n}\)ですから、奇数番目までの部分和と偶数番目までの部分和のどちらも極限をとる必要があることに気をつけてください。

≪2022年度の目標値≫
　数学を得点源にしたい受験生…(1)(2)はとりたい。
　数学以外を得点源にしたい受験生…(1)だけ解いて、他の問題に時間をかけましょう

【総評】

　どれも試験では頻出の問題ですが、ある程度手を動かす訓練をしていないと、試験の際に「見たことはあるんだけどなあ…」となる問題が多いです。普段から、実際に手を動かすことを厭わずに学習して下さい。
　また、第4問は割と難しいうえに、論述形式のため途中式の減点がありえます。制限時間内にできる限り点数を取るために、どの問題から解いていくのか、時間配分を意識して問題に取り組むようにしましょう。

まとめ

というわけで、今回は聖マリアンナ医科大学医学部の数学についてまとめてみました。皆さんの参考になれば幸いです！

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